Title:

Degenerierende elliptische Kurven und ihre Anwendung zur Bestimmung der Struktur der n-Teilungspunkte

Description:  Degenerierende elliptische Kurven...
Author:Michael Adam
deutsch
  
ISBN: 3110203545   ISBN: 3110203545   ISBN: 3110203545   ISBN: 3110203545 
 
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„Degenerierende elliptische Kurven
und ihre Anwendung zur Bestimmung
der Struktur der n-Teilungspunkte“

Zusammenfassung der Diplomarbeit von
Michael Adam

In dieser Diplomarbeit wird die Degeneration elliptischer Kurven ausgenutzt, um einen relativ elementaren algebraisch-geometrischen Zugang zu einigen bekannten Resultaten über die Gruppen- und Galoisstruktur der n-Teilungspunkte elliptischer Kurven zu entwickeln.

Eine elliptische Kurve über einem Körper k ist eine eindimensionale abelsche Varietät über k. Das Schema der n-Teilungspunkte E[n] von E ist der Kern der Multiplikation $[n]:E\to E$ mit $n\in\ensuremath{\mathbb{N} } $, die Gruppe der n-Teilungspunkte ist die Gruppe $E[n]\bigl(\bar{k}\bigr)$ der geometrischen Punkte von E[n]. Zunächst wird gezeigt, daß $E[n]\bigl(\bar{k}\bigr) \cong
(\ensuremath{\mathbb{Z} } /n\ensuremath{\mathbb{Z} } )^2$ ist für zur Charakteristik von k teilerfremdes n. Daraufhin wird die generische Galoisdarstellung $\ensuremath{\operatorname{Gal}}\bigl(\bar{K}/K\bigr) \to \ensuremath{\operatorname{GL}} _2(\ensuremath{\mathbb{Z} } /n\ensuremath{\mathbb{Z} } )$ einer Familie in Spezialfällen untersucht.


Es ist die Grundidee der Methode dieser Arbeit, Familien von elliptischen Kurven zu studieren, die in singuläre Kurven degenerieren. Manche Dinge sollten in einer singulären Faser einer degenerierenden Familie von Kurven leichter zu sehen sein, und die erhaltene Information sollte sich dann auf die anderen Fasern übertragen. Genauer ist der Ausgangspunkt der Untersuchungen die Beobachtung, daß sich elliptische Kurven durch Weierstraßgleichungen

y2z + a1 xyz + a3 yz2 = x3 + a2 x2z + a4 xz2 + a6z3

als ebene projektive Kurven beschreiben lassen und daß bei der Reduktion von Weierstraßgleichungen zwei Typen von singulären Kurven auftreten können: ein $\ensuremath{\mathbb{P} } ^1$ mit Doppelpunkt und ein $\ensuremath{\mathbb{P} } ^1$ mit Spitze. Bei der Doppelpunktkurve sind schon die n-Teilungspunkte $\mu_n \subset \ensuremath{\mathbb{G} } _{\mathrm{m}} \subset \ensuremath{\mathbb{P} } ^1/\{0,\infty\}$ sichtbar.

Daher werden nach einigen allgemeinen Vorbereitungen über Familien - sie sind hier stets einparametrig (das heißt das Basisschema ist ein Dedekindschema) und generisch glatt - zunächst Doppelpunktsingularitäten in Familien von Kurven untersucht. Es wird gezeigt, daß eine einparametrige Familie C/S von Kurven infinitesimal um einen Doppelpunkt P in der Faser über einem abgeschlossenen Punkt $s\in S$ isomorph zu $\ensuremath{\mathcal{O}} _{S,s}[x,y]/(xy-t_s^m)$ ist für einen lokalen Parameter ts von S bei s und ein $m \in \ensuremath{\mathbb{N} } $ (das heißt $\ensuremath{\widehat{\mathcal{O}}} _{C,P} \cong \ensuremath{\widehat{\mathcal{O}}} _{S,s}[\![x,y]\!]/(xy-t_s^m)$). Der Punkt P ist genau dann ein regulärer Punkt von C, wenn m=1 ist. Diese Regularität ist wichtig, da Schnitte von $C\to S$ in reguläre Doppelpunkte nicht hineinlaufen, was beim Vergleich der n-Teilungspunkte in den verschiedenen Fasern zum Tragen kommt. Zum Zweck der ,,Regularisierung`` wird daher untersucht, was beim Aufblasen einer Familie in einem Doppelpunkt vom Typ m passiert. Nach $\lceil \frac{m}{2} \rceil$-maligem Aufblasen liegt erstmals eine reguläre Situation vor, und der Doppelpunkt ist durch eine Kette von m-1 projektiven Geraden ersetzt worden. Insbesondere wird aus einem Eineck, wie es in einer Weierstraßkurve auftaucht, ein m-Eck von projektiven Geraden. Bei weiterem Aufblasen ist die resultierende Kurve wieder regulär, aber es kommen in der Faser Komponenten mit Vielfachheit >1 hinzu. Das bedeutet, eine reguläre Kurve E/S, deren singuläre Fasern ,,Polygone`` von projektiven Geraden sind, ist minimal regulär (das ,,minimale Modell`` ihrer generischen Faser).

Um die Gruppenstrukturen der elliptischen Fasern mit einer singulären Faser vergleichen zu können, braucht man eine S-Gruppenschemastruktur auf dem glatten Teil E0/S von E/S. Es wird gezeigt, daß für eine reguläre Familie von Kurven vom Geschlecht eins, deren singuläre Fasern Polygone sind, und einen Schnitt $e:S\to E$ die Abbildung

\begin{eqnarray*}E^{0} & \longrightarrow & \ensuremath{\operatorname{Pic}} ^{0}_...
...mathcal{N} \\
P & \mapsto & \ensuremath{\mathcal{O}} _{E}(P-e)
\end{eqnarray*}


ein Isomorphismus von Funktoren ist, wobei $\mathcal{N}$ den von den Komponenten der Polygonfasern erzeugten Untergruppenfunktor bezeichnet. Dies liefert die eindeutig bestimmte S-Gruppenschemastruktur auf E0 mit e als Einsschnitt, das heißt hier wurde explizit das Néronmodell der generischen Faser konstruiert. Eine solche reguläre Familie von Kurven vom Geschlecht eins mit Polygonen als singuläre Fasern wird (zusammen mit ihrer kanonischen Gruppenstruktur) in dieser Arbeit als degenerierende elliptische Kurve bezeichnet. Die so zu Stande kommende Gruppenstruktur auf einer r-eckigen Faser hat als Einskomponente $\ensuremath{\mathbb{G} } _{\mathrm{m}}$ und als Komponentengruppe $\ensuremath{\mathbb{Z} } /r\ensuremath{\mathbb{Z} } $; geometrisch zerfällt diese Erweiterung, so daß man hier die Gruppe der n-Teilungspunkte als $\mu_n\bigl(\bar{k}\bigr) \times
\ensuremath{\mathbb{Z} } /\ensuremath{\operatorname{ggT}} (n,r)\ensuremath{\mathbb{Z} } $ ablesen kann.

Nach diesen Vorbereitungen wird die Untersuchung der n-Teilungspunkte in Angriff genommen. Sei E/S eine degenerierende elliptische Kurve. Durch Wertnehmen bekommt man für jeden Punkt $s\in S$ einen Homomorphismus $E^0[n](S) \to E^0_s[n]\bigl(\kappa(s)\bigr)$. Punkte der generischen Faser EK (K ist der Funktionenkörper von S) dehnen sich auf Grund der Eigentlichkeit von E/S eindeutig zu Schnitten von E/S aus, die nicht in die Doppelpunkte hineinlaufen, weil E regulär ist. Daher ergibt sich ein Isomorphismus $E^0[n](S)
\xrightarrow{\sim} E_K[n](K)$. Es wird gezeigt, daß auch für alle abgeschlossenen Punkte s die Abbildung $E^0[n](S) \to E^0_s[n]\bigl(\kappa(s)\bigr)$ ein Isomorphismus ist, wenn alle generischen n-Teilungspunkte sichtbar sind (wenn also die Erweiterung $K\bigl(E_K[n]\bigr)/K$ der n-Teilungspunkte von EK trivial ist), und daß dann auch $\kappa(s)\bigl(E^0_s[n]\bigr) = \kappa(s)$ gilt. Hierbei wird benutzt, daß n nicht von der Charakteristik von $\kappa(s)$ geteilt wird. Des Weiteren gilt in diesem Fall, daß die Anzahl der Komponenten einer Polygonfaser von n geteilt wird. Indem noch genügend viele Familien angegeben werden, ist damit gezeigt, daß für jede elliptische Kurve E über einem Körper k und zu $\ensuremath{\operatorname{Char}} (k)$ teilerfremdes n die Gruppe der n-Teilungspunkte von E isomorph zu $(\ensuremath{\mathbb{Z} } /n\ensuremath{\mathbb{Z} } )^2$ ist.

Beim Studium der generischen Galoisoperation wird zunächst eine Familie infinitesimal um eine Polygonfaser herum untersucht, das heißt das Basisschema ist das Spektrum eines vollständigen diskreten Bewertungsrings R mit Quotientenkörper K. Durch Vergleich der Gruppenstrukturen der Polygonfasern nach verschiedenen Erweiterungen kann gezeigt werden, daß die Erweiterung $K\bigl(E[n]\bigr)/K$ von der Gestalt $K\bigl(\mu_n,\sqrt[n]{q}\bigr)$ ist für ein bis auf (R*)n eindeutig bestimmtes $q\in R^*$, und daß die Galoisoperation die Form

\begin{displaymath}\sigma \mapsto
\left(\begin{array}{cc}\chi_n(\sigma)&\gamma(\sigma)\\ 0&1\end{array}\right)
\end{displaymath}

hat, wobei $\chi_n$ der Kreisteilungscharakter ist und $\gamma$ ein $\chi_n$-Kozykel zu q (das heißt $\sigma(Q) =
\zeta^{\gamma(\sigma)}Q$ für eine primitive n-te Einheitswurzel $\zeta$ und Qn=q). Das im Limes über n eindeutig bestimmte Element $q\in R^*$ ist das Element aus der p-adischen Uniformisierung von Tate.

Schließlich wird noch im Funktionenkörperfall das globale Bild der Galoisdarstellung auf den n-Teilungspunkte in $\ensuremath{\operatorname{GL}} _2$ untersucht. Ganz allgemein ist die Determinante der Darstellung der zyklotomische Charakter $\chi_n$, wie man mit der Weil-Paarung sehen kann. Mit Hilfe der Resultate über die Galoisoperation bei einer Polygonfaser und Normalformenargumenten von Igusa wird gezeigt, daß dies für eine durch ihre j-Invariante parametrisierte Kurve die einzige Einschränkung ist: Das Bild enthält $\ensuremath{\operatorname{SL}} _2(\ensuremath{\mathbb{Z} } /n\ensuremath{\mathbb{Z} } )$. Für eine beliebige nichtkonstante Familie über (einem offenen Teil) einer Kurve C über einem Körper der Charakteristik p wird ein leicht abgeschwächtes Resultat bewiesen: Das Bild der Galoisdarstellung $\ensuremath{\operatorname{Gal}}\bigl(\bar{K}/K(\mu_{\infty}^{(p)})\bigr) \to
\e...
...math{\operatorname{SL}} _2\bigr(\widehat{\ensuremath{\mathbb{Z} } }^{(p)}\bigr)$ hat endlichen Index.


Die gesamte Darstellung dieser Arbeit ist vom Standpunkt der modernen algebraischen Geometrie aus elementar. Sie ist konsequent in der Sprache der Schemata gehalten, und die fortgeschrittensten Resultate, die verwendet werden, sind etwa die Halbstetigkeitssätze und der Satz von Riemann-Roch für Kurven. Über elliptische Kurven wird außer dem grundlegenden Kalkül für Weierstraßgleichungen von Tate fast nichts benutzt. Insbesondere wird die Gruppenstruktur auf einer Weierstraßkurve bei der Konstruktion der Gruppenstruktur auf einer degenerierenden elliptischen Kurve miterhalten. Lediglich bei der Untersuchung des Bildes der Galoisdarstellung werden die Weilpaarung und die Legendrenormalform benutzt sowie eine weitere Normalform von Igusa.


Die gesamte Arbeit kann als Postscript-Datei und als gezippte Postscript-Datei von Uni-ftp-Verzeichnis oder von unserem http-Server ( Postscript-Datei, gezippte Postscript-Datei ) geladen werden.

  
Numerische Mathematik: Eine algorithmisch orientierte Einführung: [Band] 1 (de Gruyter Lehrbuch)
von Peter Deuflhard,
Andreas Hohmann
Siehe auch:
Numerische Mathematik: Eine beispielorientierte …
Analysis 1: Differential- und Integralrechnung …
Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler …
Numerische Mathematik: Gewöhnliche …
Numerische Mathematik: Adaptive Lösung partieller Differentialgleichungen: …
Stoer / Bulirsch: Numerische Mathematik 1 …
 
   
 
     

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