„Degenerierende elliptische Kurven
und ihre Anwendung zur Bestimmung
der Struktur der n-Teilungspunkte“

Zusammenfassung der Diplomarbeit von
Michael Adam

Eine elliptische Kurve über einem Körper k ist eine eindimensionale abelsche Varietät über k. Das Schema der n-Teilungspunkte E[n] von E ist der Kern der Multiplikation mit , die Gruppe der n-Teilungspunkte ist die Gruppe der geometrischen Punkte von E[n]. Zunächst wird gezeigt, daß ist für zur Charakteristik von k teilerfremdes n. Daraufhin wird die generische Galoisdarstellung einer Familie in Spezialfällen untersucht.

Es ist die Grundidee der Methode dieser Arbeit, Familien von elliptischen Kurven zu studieren, die in singuläre Kurven degenerieren. Manche Dinge sollten in einer singulären Faser einer degenerierenden Familie von Kurven leichter zu sehen sein, und die erhaltene Information sollte sich dann auf die anderen Fasern übertragen. Genauer ist der Ausgangspunkt der Untersuchungen die Beobachtung, daß sich elliptische Kurven durch Weierstraßgleichungen

Daher werden nach einigen allgemeinen Vorbereitungen über Familien - sie sind hier stets einparametrig (das heißt das Basisschema ist ein Dedekindschema) und generisch glatt - zunächst Doppelpunktsingularitäten in Familien von Kurven untersucht. Es wird gezeigt, daß eine einparametrige Familie C/S von Kurven infinitesimal um einen Doppelpunkt P in der Faser über einem abgeschlossenen Punkt isomorph zu ist für einen lokalen Parameter t_s von S bei s und ein (das heißt ). Der Punkt P ist genau dann ein regulärer Punkt von C, wenn m=1 ist. Diese Regularität ist wichtig, da Schnitte von in reguläre Doppelpunkte nicht hineinlaufen, was beim Vergleich der n-Teilungspunkte in den verschiedenen Fasern zum Tragen kommt. Zum Zweck der ,,Regularisierung`` wird daher untersucht, was beim Aufblasen einer Familie in einem Doppelpunkt vom Typ m passiert. Nach -maligem Aufblasen liegt erstmals eine reguläre Situation vor, und der Doppelpunkt ist durch eine Kette von m-1 projektiven Geraden ersetzt worden. Insbesondere wird aus einem Eineck, wie es in einer Weierstraßkurve auftaucht, ein m-Eck von projektiven Geraden. Bei weiterem Aufblasen ist die resultierende Kurve wieder regulär, aber es kommen in der Faser Komponenten mit Vielfachheit >1 hinzu. Das bedeutet, eine reguläre Kurve E/S, deren singuläre Fasern ,,Polygone`` von projektiven Geraden sind, ist minimal regulär (das ,,minimale Modell`` ihrer generischen Faser).

Um die Gruppenstrukturen der elliptischen Fasern mit einer singulären Faser vergleichen zu können, braucht man eine S-Gruppenschemastruktur auf dem glatten Teil E⁰/S von E/S. Es wird gezeigt, daß für eine reguläre Familie von Kurven vom Geschlecht eins, deren singuläre Fasern Polygone sind, und einen Schnitt die Abbildung

Nach diesen Vorbereitungen wird die Untersuchung der n-Teilungspunkte in Angriff genommen. Sei E/S eine degenerierende elliptische Kurve. Durch Wertnehmen bekommt man für jeden Punkt einen Homomorphismus . Punkte der generischen Faser E_K (K ist der Funktionenkörper von S) dehnen sich auf Grund der Eigentlichkeit von E/S eindeutig zu Schnitten von E/S aus, die nicht in die Doppelpunkte hineinlaufen, weil E regulär ist. Daher ergibt sich ein Isomorphismus . Es wird gezeigt, daß auch für alle abgeschlossenen Punkte s die Abbildung ein Isomorphismus ist, wenn alle generischen n-Teilungspunkte sichtbar sind (wenn also die Erweiterung der n-Teilungspunkte von E_K trivial ist), und daß dann auch gilt. Hierbei wird benutzt, daß n nicht von der Charakteristik von geteilt wird. Des Weiteren gilt in diesem Fall, daß die Anzahl der Komponenten einer Polygonfaser von n geteilt wird. Indem noch genügend viele Familien angegeben werden, ist damit gezeigt, daß für jede elliptische Kurve E über einem Körper k und zu teilerfremdes n die Gruppe der n-Teilungspunkte von E isomorph zu ist.

Beim Studium der generischen Galoisoperation wird zunächst eine Familie infinitesimal um eine Polygonfaser herum untersucht, das heißt das Basisschema ist das Spektrum eines vollständigen diskreten Bewertungsrings R mit Quotientenkörper K. Durch Vergleich der Gruppenstrukturen der Polygonfasern nach verschiedenen Erweiterungen kann gezeigt werden, daß die Erweiterung von der Gestalt ist für ein bis auf (R^*)ⁿ eindeutig bestimmtes , und daß die Galoisoperation die Form

Schließlich wird noch im Funktionenkörperfall das globale Bild der Galoisdarstellung auf den n-Teilungspunkte in untersucht. Ganz allgemein ist die Determinante der Darstellung der zyklotomische Charakter , wie man mit der Weil-Paarung sehen kann. Mit Hilfe der Resultate über die Galoisoperation bei einer Polygonfaser und Normalformenargumenten von Igusa wird gezeigt, daß dies für eine durch ihre j-Invariante parametrisierte Kurve die einzige Einschränkung ist: Das Bild enthält . Für eine beliebige nichtkonstante Familie über (einem offenen Teil) einer Kurve C über einem Körper der Charakteristik p wird ein leicht abgeschwächtes Resultat bewiesen: Das Bild der Galoisdarstellung hat endlichen Index.

Die gesamte Darstellung dieser Arbeit ist vom Standpunkt der modernen algebraischen Geometrie aus elementar. Sie ist konsequent in der Sprache der Schemata gehalten, und die fortgeschrittensten Resultate, die verwendet werden, sind etwa die Halbstetigkeitssätze und der Satz von Riemann-Roch für Kurven. Über elliptische Kurven wird außer dem grundlegenden Kalkül für Weierstraßgleichungen von Tate fast nichts benutzt. Insbesondere wird die Gruppenstruktur auf einer Weierstraßkurve bei der Konstruktion der Gruppenstruktur auf einer degenerierenden elliptischen Kurve miterhalten. Lediglich bei der Untersuchung des Bildes der Galoisdarstellung werden die Weilpaarung und die Legendrenormalform benutzt sowie eine weitere Normalform von Igusa.


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